2024-01-01

2024年の投資戦略

投資信託 NISA 新NISA

ご無沙汰しております、新谷です。

新年あけましておめでとうございます。

今年からNISA制度が変わり、運用期間も運用可能金額も増えますね。

以前から投資をしているせいもあったのかもしれませんが、2023年は投資に関する広告や記事をよく見かけた気がします。

旧NISA制度(～2023年)と新NISA制度(2024年～)の比較(楽天証券HPより)

珠洲

私はこれまで一般NISAで日本の高配当株を買い、特定口座で投資信託を買っていたのですが、NISA制度が変わることもあって今後の投資戦略を検討しました。

ここでは今年の投資戦略を備忘録という形で書き記すことで、今後の反省に活かそうかなと考えています。(※本記事を参考にするのは構いませんが、鵜呑みにするのはNGです。投資は自己責任。)

NISAの使い方 ⇒ 投資信託ですべて埋める
何を買うか ⇒ 先進国株インデックスファンド
NISA枠を埋めるペース ⇒ 基本的に最速を目指す

NISAの使い方 ⇒ 投資信託ですべて埋める

今年から始まったNISAですが、ひとまずつみたて投資枠も成長投資枠も投資信託ですべて埋めます。旧NISAで持っている日本株の非課税保有期間が終わったら、その都度成長投資枠に移すことも考えましたが、株の配当金を再投資するとNISAで積み立てられる枠がその分減ってしまうため、それがない再投資型の投資信託で埋めてしまった方がよいなという考えに至ったためです。

何を買うか ⇒ 先進国株インデックスファンド

投資信託でNISAの枠をすべて埋めることは決めたのですが、問題は何を買うか。

人気どころだとS&P500や全世界株(オルカン)があると思いますが、私は以前から買っていたMSCIコクサイインデックスベースのやつ(いわゆる先進国株)のままで進めることにしました。理由は下記の3つ。

・アメリカ株一辺倒はちょっと怖いから

アメリカ一辺倒は嫌だとは言えども、買おうとしてる指標の約7割がアメリカ株、、、

組入TOP10国・地域(eMAXIS 先進国インデックス 2023年11月度月次レポートより)

ただお守り程度に他国にも分散はされているので、これで精神的に楽になると自分に言い聞かせています。過去の実績を見ると100点満点にはならないでしょうけど、赤点を取らなければいいのでそれでヨシとします。

・日本株はすでに持っており、オルカンを持つと日本株の割合偏重が加速する。

私は日本株大好きで、ポートフォリオの約35%を日本株で占めています。そのほとんどが日経平均などのインデックスに組み込まれているため、投資信託でも間接的に日本株を持つ必要はないかなと判断しました。

・オルカンを持つことで、悪いニュースが予見されてる中国株を持ちたくなかった。(オルカンには中国株も含まれるため)

日本もそうですが、中国は一人っ子政策の結果で少子高齢化が予見されています。

www.rieti.go.jp

ただ少子高齢化以上に私が嫌っていることは中国国内での若者の就職難とデフレ。他の方たちも同じように予想されていると思いますが、これから中国の経済は冷え込むのかなー？と考えており、これだけ悪い材料が出てる中で中国株握る必要はないと、現時点では判断しています。

www.nli-research.co.jp

www.nri.com

さて、先進国株インデックス投資信託を買う屁理屈をつらつら書きましたが、次に考えるのはどこのファンドのものを買うか。今まではニッセイのやつを買っていたのですが、2023年の年末に楽天証券から新たに投資信託商品の発売が発表されました。

当該商品はその保有残高で楽天ポイントがもらえるという特典もありますが、ポイントはあくまでもオマケ。最近発表されたばかりの商品ですので、投資成績はまだ全く分からないのですが信託報酬が他のファンドより安いのは魅力的。インデックス投資において、手数料の安さは正義ですからね。

NISA枠を埋めるペース ⇒ 基本的に最速を目指す

もともと特定口座240万円以上の投資信託を持っていたため、それを昨年末に売り払い1月に成長投資枠に満額入れる予定です。はじめはギャンブルチックな投資の仕方かなーと躊躇していましたが、今回のNISA制度改定が無かったら特定口座に漬け続けていたようなお金なので、金銭的なリスクは変わらないと判断。また、最速でNISA枠を埋めきったとしても最低でも5年は掛かるので時期の分散もある程度はできます。それなら非課税期間を1日でも長く利用したほうがよいのでは？と思い、1年目は最速で埋める判断をしました。

2年目以降は今後のライフイベントや収入に応じて同じように最速で埋めるか、ペースを落とすかは考えようと思っています。

つみたて投資枠は10万円/月でコツコツ積み立てようかなと思います。幸い、私が利用している楽天証券は楽天カード + 楽天キャッシュで10万円まで投資することができるのでオマケ程度ではありますがポイントも入手できて嬉しい。

しかも楽天キャッシュは楽天 Edyからチャージすることも可能になってるのがうれしいところ。

edy.rakuten.co.jp

私は陸ANA マイラーをやっているので少々面倒ですが、ANAカード ⇒ Kyash ⇒ ANA Pay ⇒ 楽天 Edy ⇒ 楽天キャッシュの順でお金を動かすことで、そこそこのマイルは手に入ります。ただ、あまりにも旨すぎるので対策されるかもしれないですが……

このような感じで今年は投資を進めようかなと思います。日本高配当株への投資はNISAを埋めることを考えるとしばらく休止かなー？

思ったより手元に現金が残りそうならやろうかなくらいの感覚でやろうと思います。

とはいえ投資に入れるお金を確保するために稼がないといけないので、まずは健康第一・家内安全を念頭に頑張りますかね。

最後になりましたが、今年も皆様のご健康とご多幸を祈っております。

健康とお金は大切に生きましょう。

2022-09-25

マッチング拠出をするか個人型確定拠出年金(iDeCo)に加入するか

iDeCo マッチング拠出年金

iDeCo加入要件の緩和(2022年10月～)
企業型DC加入者が2022年10月からiDeCoを利用するにあたって
確定拠出年金に関する統計

※本記事は個人的な主観がほとんどですので、本記事で発生した金銭的なトラブルは責任を負えません。

ご無沙汰しております、新谷です。

ここ最近はアメリカFRB(Federal Reserve System)が利上げを続けて、同国の株式市場で続落が続いてますね。

jp.reuters.com

一方日本銀行(日銀)は金利上げを計画しておらず、そのためか円安が進行し、24年ぶりとなる円買いを始めています。

www.nikkei.com

jp.reuters.com

私もインデックス投資教に入信して投資をしている身ですが、相場を動かせるほどの資産は持っていない。長いものに巻かれるしかないのですが、持っている金融商品が上がってくれることをただただ祈るばかり……

iDeCo加入要件の緩和(2022年10月～)

さて、日本での投資に関するニュースの1つに、2022年10月からのiDeCo(individual-type Defined Contribution pension plan、個人型確定拠出年金)加入要件の緩和があります。

確定拠出年金は2001年(平成13年)から始まった制度で、企業(勤め先) or 個人がお金を拠出(上限有)して、年金を積み立てる制度です。企業にお勤めの方はDC(Defined Contribution。企業型確定拠出年金、企業型DC)という単語を聞いたことがあるかもしれません。企業型DCは勤め先がお金を拠出していますが、iDeCoは加入者自らお金を拠出しています。

iDeCoの加入資格と拠出限度額は下記の通りiDeCo公式HP(https://www.ideco-koushiki.jp/)で紹介されています。

図1 iDeCo加入資格と拠出限度額 by iDeCoをはじめよう
(https://www.ideco-koushiki.jp/start/)

iDeCoは年金であるため、原則60歳以上にならないと引き出せないという制約はついていますが、拠出した金額だけ所得控除され税金が安くなったり、運用益が非課税だったりと税制優遇を受けることができます。

流行り(？)の「つみたてNISA(Nippon Individual Saving Account)」も運用益が非課税という似たような恩恵を受けることができますが、つみたてNISAの場合は拠出した金額に対して税金が安くなることはありません。

	iDeCo	つみたてNISA
拠出限度額(年額)	14.4万円～81.6万円 (加入者による)	40万円
税制優遇	・運用益が非課税・掛け金が全額所得控除・公的年金控除、退職金控除の対象となる	・運用益が非課税(最長20年) ※年金ではないため受取時の税金はなし
引出し可能時期	原則60歳から	いつでもOK

iDeCo

つみたてNISA

拠出限度額(年額)

14.4万円～81.6万円
(加入者による)

40万円

税制優遇

・運用益が非課税
・掛け金が全額所得控除
・公的年金控除、
退職金控除の対象となる

・運用益が非課税(最長20年)

※年金ではないため
受取時の税金はなし

引出し可能時期

原則60歳から

いつでもOK

これまでは図1にある「企業型DCのみに加入している会社員」、「DBと企業型DCに加入している会社員」は、企業側がiDeCoへの加入を許可している場合のみiDeCoと併用可能でした。

しかし、先述した通り2022年10月からは加入要件が緩和され、(条件はありますが)個人の判断で会社員もiDeCoに加入することができます。これによってiDeCoの恩恵を受けることができなかった会社員もそれに預かれるはず。

企業型DC加入者が2022年10月からiDeCoを利用するにあたって

2022年10月から企業型DCを利用されている方もiDeCoに加入するにあたって、2つ条件があります。

マッチング拠出を利用していないこと
各月の企業の掛け金と合算して5.5万円を超えないこと

マッチング拠出とは、企業の掛け金だけでなく会社員自らも掛け金を拠出できる制度です。マッチング拠出した金額や運用額は、iDeCoと同様に税制優遇を受けることが可能であるため、iDeCoに加入せず(できず)に利用されている方もいらっしゃると思います。

しかし会社員がiDeCoに加入する場合は最大2万円拠出できるのに対し、マッチング拠出の場合は企業の掛け金を越えて会社員が拠出することはできません。それぞれの最大拠出額や制約は下記の通り。

	iDeCo	マッチング拠出
最大拠出額(月額) ※DCのみの場合	0.5～2万円	～企業の掛け金 (最大2.75万円)
最大拠出額(月額) ※DBなど併用の場合	0.5～1.2万円 ※2024年12月からは最大2万円	～企業の掛け金 (最大1.375万円)
その他	口座開設費、管理費は自腹	口座開設費、管理費は会社負担
共通制約	企業の掛け金 + 個人の掛け金合計は5.5万円まで (DBなど併用の場合は2.75万円まで)

グラフを描く必要もなかったですが税制優遇を最大限受けようと思うと、DCのみの場合は企業の掛け金が2万円以下、DBなどを併用している場合は1.2万円以下でiDeCoを検討してもいいかもしれません。

ただiDeCoの管理費などは自費を切ることになりますので投資したい商品があるかや、そもそも投資に回すお金があるのかも含めて考える必要はありそう。あくまでも投資は余剰資金でやるものですので、60歳以降のお金を得るために今の生活を犠牲にするのはやめましょう。

確定拠出年金に関する統計

この記事は勤め人である私が今のままマッチング拠出を使うか、iDeCoと併用するかののメモ書きも兼ねて書いています。今回色々調べてみると、企業年金連合会が公開している確定拠出年金に関する調査結果を見つけました。(確定拠出年金に関する実態調査｜統計資料｜企業年金連合会)

2021年度の調査ではマッチング拠出の平均拠出額は8,526円(DCのみの場合)となっており、集計結果の98.7%がiDeCo検討ボーダーの2万円を下回っています。

図3 マッチング拠出の平均掛け金額 by 企業年金連合会
2020(令和2)年度確定拠出年金実態調査結果

https://www.pfa.or.jp/activity/tokei/dc_cyosa/index.html

マッチング拠出は企業の掛け金と同等額を上限(最大2.75万円)として会社員も拠出できる制度ですので、必ずしも上限いっぱい入れる必要はありません。また、企業と会社員の掛け金が最大でも5.5万円という制約もあるため、企業がたくさん掛け金を出している場合は、その分従業員が拠出できる限度額も下がります。

ただ、個人的には思ったよりも安いなという印象。

原則60歳以降でしか受取れない制約が足を引っ張っているのか、会社の掛け金が低すぎるのか、逆に掛け金が高くて拠出できないのか、そもそも拠出に割けるお金がないのか。

企業年金連合会の統計資料を読んでますと、図4のような集計結果がありました。

図4 企業型DCの掛け金額 by 企業年金連合会
 確定拠出年金統計資料(運営管理機関連絡協議会提供) 2021年3月末

https://www.pfa.or.jp/activity/tokei/dc_unkan/index.html

2021年3月末の事業者(企業)掛け金とマッチング拠出の平均額が16万円/年。マッチング拠出の平均額が0.71万円/月＝8.52万円ですので、企業の掛け金の平均が約7.48万円/年≒0.623万円となっていそうです。

図3と図4でマッチング拠出額に乖離があるのは、図4ではDBなど併用している企業とは区別せず集計されているためです。

※マッチング拠出額：DCのみ 8,216円/月・n = 162、DB等併用 5,776円/月・n=147(いずれも図3引用元の資料より)。合算して平均値を出すと0.7056円/月≒0.71円/月(図4の結果)となります。

ともあれ、合算しようがしまいがiDeCo検討ボーダーの2万円(DB等併用なら1.2万円)には届いていません。マッチング拠出額が思いのほか低かった理由は、そもそも企業の掛け金が低いからという説明がつきそうです。

しかも図5にあるように、そもそも2020年度時点でマッチング拠出をしていない企業の15％しかiDeCoの加入を認めていませんでした。これまでは会社員がiDeCoを始めるためには勤め先が許可していないとダメでしたが、2022年10月からは個人の意思で始められます。

図5 iDeCoとの同時加入を認めている企業割合 by 年金連合会
2019(令和元)年度確定拠出年金実態調査結果

https://www.pfa.or.jp/activity/tokei/dc_cyosa/2020.html

※iDeCo対象拡大を控えていたためか図3引用元には集計結果なし

厚生労働省が少子高齢化などの社会経済情の変化を鑑みて確定拠出年金制度を整備(確定拠出年金制度について)していますので、このようにiDeCoの加入要件を緩めることでそれを加速させていると思われます。

今は企業とマッチング拠出 or iDeCo拠出額が5.5万円までという制約がありますが、そのうち上限額も上がったりするんですかね？NISAも永続化するかもみたいな話もありますし？

ともあれ、直前ではありますが10月からiDeCo加入要件も緩みますので新たに対象となるかたで、興味があるという方はこの機にやってみるのはいいと思います。繰り返しますが、iDeCoにせよ企業型DCにせよ原則60歳までは引き出せませんので、今後の人生設計やお金の計画をよく考えて選択するようにしましょう。

※本記事は個人的な主観がほとんどですので、本記事で発生した金銭的なトラブルは責任を負えません。

※誤っている部分や認識がおかしい部分がありましたらコメント頂けると幸いです。

2021-08-14

ふるさと納税の確定申告続きが簡単になるらしいね

ふるさと納税確定申告

ご無沙汰しております、新谷です。

最近、YouTube内を徘徊していたらこんな動画を見つけたんですよね。

youtu.be

令和3年(2021年)分の確定申告から、ふるさと納税に関する申告が簡素化されるとのこと。来年からは配当金控除を受けるために、確定申告に挑戦してみようかな～～～と思っていたので、これは嬉しいニュース。

あとは、医療費控除や住宅借入金等特別控除(住宅ローン控除)などを受けるために確定申告しないといけない人にも朗報ではないでしょうか。

ここでは備忘録も兼ねて、申告の仕方をまとめようと思います。

制度説明の前に
制度の内容について
まとめ
余談

制度説明の前に

ふるさと納税をして住民税や所得税控除を受けようと思うと「確定申告」か「ワンストップ特例制度」のどちらかを利用する必要があります。

確定申告をする必要がないかつ、1年で寄附した自治体が5つ以内という方はワンストップ特例制度を利用している場合が多いと思います。寄附した自治体に書類1枚とマイナンバー＆身分証のコピーを送るだけで手続きが済みますからね、とても簡単です。

ただ自営業の方や年収2,000万円以上の方、もともと確定申告をする必要がないサラリーマンでも医療費控除などを受けようと思うと確定申告をしないといけません。

そして、確定申告をしてしまうとワンストップ特例制度での申請が無効になってしまうため、確定申告の時に改めてふるさと納税を申告しなければなりません。

www.furusato-tax.jp

確定申告でふるさと納税を申告する場合、基本的には寄附金受領証明書の提出が必要なんですよね。寄附金受領証明書はふるさと納税した回数分発行されるので、書類の管理が億劫です。

e-Taxを使っているという人は証明書の添付が省略できたりします。どうやら今年から、マイナンバーカードが読み取れるNFC対応かつ、カメラ機能が付いたスマートフォンを持っていると、PCと連携させてe-Taxで確定申告ができるようなったみたいです。

e-Taxのハードルがどんどん下がってきて利用しやすくなってますね。利用できる環境をお持ちで、確定申告をするという方は活用してみるのもいいと思います。

www.e-tax.nta.go.jp

ちょっと話が脱線しちゃいましたが、e-Taxが利用できずに税務署へ書類の持ち込みや郵送をしなければならない人は、寄附金受領証明書も一緒に提出しなければなりません。

というのがこれまでの確定申告でしたが、どうやら来年の確定申告からふるさと納税関連書類は1種類だけで済むようになりそうです。

制度の内容について

国税庁のホームページを見てみると、こういうことが書いてありました。

(前略)

令和３年分の確定申告から、特定寄附金の受領者が地方団体であるとき（ふるさと納税であるとき）は、寄附ごとの「寄附金の受領書」に代えて、特定事業者が発行する年間寄附額を記載した「寄附金控除に関する証明書」を添付することができることとされました。

https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/shinkoku/kakutei/koujyo/kifukin.htm

www.nta.go.jp

「寄附金の受領書」と書いてあるものが先述してる寄附金受領証明書のことですね。来年の確定申告からは、国税庁が指定した「特定事業者」を経由しふるさと納税した場合、「特定事業者」から発行される「寄附金控除に関する証明書」を提出したらいいよとのこと。

これまでは各自治体から発行された寄附金受領証明書を集めて提出しなければならなかったのですが、これからは「特定事業者」が発行した書類だけで済むので楽になりますね。

さて、この「特定事業者」はどこを指しているのかというのは国税庁ホームページにまとめてあります。

f:id:ar4t4ni:20210813225609p:plain — 国税庁が指定している特定事業者(2021年7月30日現在)[1]

有名どころですと「ふるなび」、「さとふる」、「楽天ふるさと納税」、「ふるさとチョイス」でしょうか。上に載せている画像は2021年7月30日時点で指定されたところですので、今後さらに増えると思われます。

個人的に楽天が入っているのは嬉しいですね。お買い物マラソンなどのキャンペーンなどを活用すると、かなりポイントがもらえるので私はいつも楽天経由でふるさと納税しています。同じように楽天を活用されている方も多いのではないでしょうか？

楽天サービスを使ったふるさと納税活用方法がよく分かっていないという方は「楽天ふるさと納税」とかでググると色々出てきます。分かりやすく解説している動画もありますので参考までに載せておきますね。

www.youtube.com

さて、先ほど紹介した特定事業者を経由してふるさと納税すると、下記のような書類が発行されるようです。

f:id:ar4t4ni:20210813231235p:plain — 寄附金控除に関する証明書の例(2021年8月13日現在)[2(PDF注意)]

これを電子ファイルとしてe-Tax経由で提出したり、印刷して提出したりすることが可能になります。この書類1つが寄附金受領証明書代わりになるので、書類の保管や確定申告が非常に楽になるのではないのでしょうか。

楽天ですと早くて2022年1月に発行されるとのこと。事業者ごとに発行時期は異なると思いますので、それぞれ利用されている事業者に問い合わせてみるといいでしょう。

event.rakuten.co.jp

注意しないといけないのは、ふるさと納税の時に使ったポータルサイトなどのサービスが、国税庁から認定されている必要があることです。また、ふるさと納税以外の寄附(例えば引退馬協会といったNPO法人への寄附など)は対象外です。

ですので、ふるさと納税したサービスが先ほどのリストに載っていなかったり、ふるさと納税以外の寄附をした場合は、これまで通り各自治体/団体から発行された寄附金受領証明書を提出する必要があります。

上に載せている特定事業者は2021年7月30日時点のものですので、これから増えるかもしれませんが、もし自分が利用したサービスが現時点で載っていない場合は、念のため寄附金受領証明書は保管しておいた方がいいでしょう。

まとめ

令和3年(2021年)分の確定申告から、ふるさと納税の申告が楽になるらしいねということで書いてきました。まとめるとこんな感じ。

特定事業者を経由してふるさと納税した場合、確定申告の際に提出する書類は1種類で済む。
ふるさと納税のみが対象なので、それ以外の寄附はこれまで通り寄附金受領証明書の提出が必要
特定事業者以外のサービスを利用した場合も、これまで通り寄附金受領証明書の提出が必要

多くの人が利用しているであろうサービスは国税庁から指定されていると思いますので、ほとんどの方は確定申告が楽になるのではないでしょうか。もちろんワンストップ特例制度も使えるので、確定申告が不要な方はこれまで通り利用してもOKです。

余談

国がこの制度を導入した理由って、ふるさと納税する人が増えて書類のチェックが大変になったからですかね？ちょっと調べてみたのですが、平成20年度(2008年度)では5.4万件だったふるさと納税が、令和元年度(2019年度)では2333.6万件と約432.1倍に増えています[3]。

f:id:ar4t4ni:20210817221808p:plain — ふるさと納税額と件数の推移[3]

www.soumu.go.jp

e-Taxでは証明書の添付がいらないものもありますが、申告漏れとかがあると税務署は改めて提出を要求したりしないといけません。ふるさと納税を活用する人が増えると、このような手間も増えることが予想されるので、ふるさと納税の履歴が1つにまとまった書類を整備していると、その手間が省けるのでしょう。多分。

利用する側もこのような制度を作ってもらえると分かりやすいですし、申請漏れも少なくなるのではないのでしょうか。多分。

e-Taxといった電子申請周りの整備も進んできましたし、国には税金以外でも使いやすいシステムの整備を進めてほしいと思います。

納税は日本国憲法で定められた国民の義務です。皆さんきちんと納税しましょう！！！

2021-02-27

微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話その9

物理数学積分微分微積分古典力学ニュートン力学

ご無沙汰しております、新谷です。

花粉の季節らしいですね。
ここ2年ほどちょうどこの時期に風邪をこじらせて鼻が止まらないことが多かったので、花粉症を疑っていたのですが、今年はピンピンしてるので花粉症でなさそうなことが分かって良かったと思っている今日この頃。

花粉症の人はお大事になさってください。

さて、これまでは指数関数について考えてきましたが、次回のために今回は別の関数について考えようと思います。

対数関数について
対数関数の変化の割合

対数関数について

高校以降で数学を学ばれた人は知っていると思いますが、知らない人もいると思いますのでまずは対数関数について書いていこうと思います。

さて、 $y=a^{x}$ の指数関数があって、これを $x$ イコールの形にしたいとき $x=\log _{a}y$ と書くと決め事をします。ただそれだけ。これを対数関数を呼んでいます。

$8=2^{3}$ は $3=\log_{2}8$ に、 $100000=10^{5}$ は $5=\log_{10} 10000$ みたいな感じで書けますね。 $\log_{10}$ は色んな分野で使われることが多いので、10を略して $\log$ だけ書く場合も多いです。

$y=a^{x}$ と $y=\log _{a} x$ では $y$ と $x$ の関係は逆になっているため、グラフを描いてあげると $y=x$ を軸に線対称になります。

f:id:ar4t4ni:20210227103639j:plain — $y=2^{x}$ と $y=\log_2 x$ の関係

対数関数には下のような公式が成り立ちます。中学で指数関数を学んでいたら難しい内容ではないので手を動かして確かめてみるのもいいと思います。

$A>0,\ A\not = 1,\ a>0,\ b>0$ のとき

$\log _{A}A=1 \Longleftrightarrow A^{1}=A$
$\log _{A}1=0 \Longleftrightarrow A^{0}=1$
$\log_{A}a^{b}=b\log_{A}a$
$\log_{A} (a\times b) =\log_{A}a+ \log_{A}b\Longleftrightarrow A^{a}\times A^{b}=A^{a+b}$
$\log_{A} \left ( \dfrac{a}{b}\right ) =\log_{A}a- \log_{A}b\Longleftrightarrow \dfrac{A^{a}}{A^{b}}=A^{a-b}$

他にも色々あるのですが、今回はここまでにしておきます。

対数関数の変化の割合

さて、ここで $y=\log_{A}x$ の $x$ が $x \rightarrow x+a$ となった時の変化の割合を考えようと思います。 $y$ の値は下のようになりますね。

$x$ のとき

$y=\log_{A}x$

$x+a$ のとき

$y=\log_{A}(x+a)$

上に書いた公式も駆使すると変化の割合は下のように書けますね。

$\begin{align} \dfrac{\log_{A}(x+a)-\log_{A}x}{(x+a)-x} &= \dfrac{\log_{A} \left (\dfrac{x+a}{x} \right )}{a} \\ &= \dfrac{\log_{A}\left (1+\dfrac{a}{x} \right )}{a} \\ &= \dfrac{1}{x}\dfrac{x}{a}\log _{A}\left (1+\dfrac{a}{x} \right ) \\ &= \dfrac{1}{x}\log _{A}\left (1+\dfrac{a}{x} \right )^{\dfrac{x}{a}}\\ \end{align}$

3行目は $x$ をかけて $x$ で割ってるので値は変わっていません。ここで $a$ を無限に小さくして変化の割合 $\dfrac{dy}{dx}$ を考えてみましょう。

さて、 $\log _{A}\left (1+\dfrac{a}{x} \right )^{\dfrac{x}{a}}$ が1になればスッキリしそうですね。上の公式から下のように書き換えることもできます。

$\log _{A}\left (1+\dfrac{a}{x} \right )^{\dfrac{x}{a}}=1 \Longleftrightarrow \left (1+\dfrac{a}{x} \right )^{\dfrac{x}{a}}=A$

ここで $h=\dfrac{a}{x}$ と置き換えるとかっこ内は下のように書き換えられます。

$A=\left ( 1+h\right )^{\dfrac{1}{h}}$

$a$ が無限に小さくなると $h$ も無限に小さくなりますね。さて、このシリーズを読み続けた人 $\left ( 1+h\right )^{\dfrac{1}{h}}$ の形に見覚えがあると思います。 $a$ を無限に小さくすると $A$ はネイピア数になります。詳しくは下の記事を参照してください。

ar4t4ni.hatenablog.com

つまり、 $y=\log_{e}x$ の変化の割合を無限に細かく見ると下のようになります。

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\log_{e}x=\dfrac{1}{x}$

$\log_{e}$ もよく使われるので $e$ を略して $\ln$ と略する場合もあります。今後は略して $\ln$ と書いていこうと思います。

さて、 $y=\ln x$ の変化の割合は分かりましたが、ちょっと拡張して $y=\ln (x+b)$ の時を考えましょう。変化の割合を考え方は同じで下のようになります。式の変形の仕方もさっきと同じで、

$x$ のとき

$y=\ln (x+b)$

$x+a$ のとき

$y=\ln (x+a+b)$

$\begin{align} \dfrac{\ln (x+a+b) - \ln (x+b)}{(x+a)-x} &= \dfrac{\ln \left ( \dfrac{x+a+b}{x+b}\right )}{a} \\ &= \dfrac{\ln \left ( 1+\dfrac{a}{x+b}\right )}{a} \\ &= \dfrac{1}{x+b}\dfrac{x+b}{a}\ln \left ( 1+\dfrac{a}{x+b}\right ) \\ &= \dfrac{1}{x+b}\ln \left ( 1+\dfrac{a}{x+b}\right ) ^{\dfrac{x+b}{a}} \end{align}$

$a$ を無限に小さくして変化の割合を細かく見ると先ほどと同じように $\ln \left ( 1+\dfrac{a}{x+b}\right ) ^{\dfrac{x+b}{a}}=1$ となりますので、 $y=\ln (x+b)$ のとき

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x+b}$

となります。まあ $\ln$ の中が一次関数だったら中身の逆数が変化の割合になると覚えておけばOKです。

さてこのシリーズですが多分次が最終話になるかも？最後までお付き合いいただけると幸いです。

感想や誤植のご指摘等々ありましたら、Twitterもしくはコメント欄でご指摘いただけると嬉しいです。

2021-01-30

微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話その8

物理数学微分微積分積分古典力学ニュートン力学微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話

こんにちは、新谷です。

暖かくなったと思ったら急に寒くなって体調を崩しそう。温かい飲み物でも飲んで落ち着きたいところ。

寒い部屋で飲み物を放っておくとだんだん冷めてきますよね。初めのうちは一気に飲み物が冷めますが、時間が経つと冷め方がゆっくりになる気がしませんか？で、だんだん温度が下がって最終的には部屋の温度と同じくらいになりますよね。

さて、前回の記事で $\dfrac{dy}{dx}=y$ が何を意味しているのかということをつらつらと書いていましたが、今回はその話を掘り下げながら飲み物の温度変化の仕方について書いていこうと思います。

ar4t4ni.hatenablog.com

ちょっと補足

前に $y=e^{x}$ の変化の割合を細かく見ると $\dfrac{dy}{dx}=e^{x}=y$ になるということを書きましたが、それを少し拡張させます。

$y=ae^{bx}+c$ のとき( $a$ , $b$ , $c$ は定数)

$\dfrac{dy}{dx}=abe^{bx}=b(y-c)$

細かいことは教科書とか他のサイトとかにもあると思いますので、ここでは解説は省きます。指数関数の肩に定数がかけられている場合の変化の割合は、その指数関数に定数をかけるだけでOKということを覚えておけばOKです。あと、 $x$ がかけられていない定数は変化しないので、定数 $c$ の変化の割合を見ると0になるため無くなります。

まあ公式みたいなものだと思って頂ければ大丈夫です。

飲み物の温度変化を考える

さて、先ほど挙げた飲み物の温度変化について考えてみましょう。

「初めのうちは一気に飲み物が冷めますが、時間が経つと冷め方がゆっくりになる気がしませんか？」と最初に書きました。

実はその通りで、かのアイザック・ニュートンは「物体が冷える割合は、物体の温度と周りの温度の差に比例する」という法則を見つけていたみたいですね。

飲み物は時間が経つと冷えます。物体を飲み物に置き換えて考えると、ニュートンの見つけた法則は下のように書けます。

$\dfrac{dy}{dt}=-k(y-T)$

$y$ ：温度、 $t$ ：時間、 $T$ ：部屋の温度、 $k$ ：定数( $k>0$ )

$\dfrac{dy}{dt}$ は「物体(飲み物)が冷える割合」を表しており、 $-k(y-T)$ は「物体(飲み物)と周りの温度の差に比例」を表しています。それを＝で結んだだけですね。

私の恩師は「数学が世界で一番正確な言語だ」と豪語しており、私は未だに数学ができませんが、今になってその意味が分かるような気がします。

で、 $\dfrac{dy}{dt}=-k(y-T)$ ってさっきの公式に似てますよね。 $x$ が $t$ 、 $b$ が $-k$ 、 $c$ が $T$ に変わったくらいでしょうか。ということで、上の式を解くと下のようになります。

$y=ae^{-kt}+T$

飲み物の温度変化が指数関数で書けるようになりましたね。ここでさらに前提条件をつけましょう。

飲み物を入れたばかりの温度を $y=T_0$ としましょう。入れたばかりというのは時間が経っていない、つまり $t=0$ ですので、 $t=0$ のときに $y=T_{0}$ になる $a$ を求めることができますね。

$y=T_{0}=ae^{-k\times 0}+T \\ T_{0}=a+T\\ \rightarrow a=T_{0}-T$

ということで、さっき解いた式は下のように書き直すことができます。

$y=(T_{0}-T)e^{-kt}+T$

あとはどうにかこうにかして $k$ を求めると時間による飲み物の冷め方が分かります。ここで100℃の飲み物を室温25℃の部屋に放っておいたとしましょう。

となると、 $T_{0}=100$ 、 $T=25$ となるので、下の式のようになりますね。

$y=75e^{-kt}+25$

で、 $k$ の値が変わると飲み物の温度の変わり方がどう変化するか見てみましょう。それがこちら。

f:id:ar4t4ni:20210129234618p:plain

100℃だった飲み物の温度が、時間が経つとだんだん室温に近付いていることがわかります。

そして $k$ が大きくなればなるほど、飲み物の温度の変化が大きいことが分かると思います。ですので、皆さんが普段使われているコップや、普段飲まれている飲み物を使って、温度変化を観察して $k$ の数字を求めたら飲み物が何分後に何度になっているかということを予測することができますね。

まあ実際にはそこまでして飲み物の温度変化を観察しようとする人はいないでしょうが、世の中にはこういう現象が色々あります。

このようなものの見方を知っているともしかすると人生が少し豊かになったりするかもしれません。さて、この話もう少し掘り下げたいのですが、キリがいいのでこのあたりで〆ようと思います。

感想や誤植のご指摘等々ありましたら、Twitterもしくはコメント欄でご指摘いただけると嬉しいです。

それでは

2021-01-24

微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話その7

物理数学微分微積分積分複利素因数分解ニュートン力学古典力学微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話

こんにちは、新谷です。まだまだ寒い日が続いてますが、日が落ちるのも遅くなってきましたね。

そろそろ暖かくなってきてほしいところですが、春先になると花粉症らしき症状がでるから嫌なんですよね。実はちゃんと検査したことがないので、今年はちゃんと検査してもらおうかなと考えていたり考えていなかったり。ちゃんと診てもらって薬処方されると結構緩和されたりするんですかね？よかったら教えてください。

さて、このシリーズではモノの増え方について焦点を置いて話を進めてきました。今回もその続きですね。

「変化の割合」の書き方を見直したい
この書き方で指数関数を考えてみる
dy/dx=yが意味すること

「変化の割合」の書き方を見直したい

これまでモノの増え方について話を進めるうえで、変化の割合を考える時に下の式を使い続けてきました。

変化の割合 $=\dfrac{y\mbox{の増減量}}{x\mbox{の増減量}}$

ただこれって文字数多いから書くのが面倒くさいし、はてなブログのMarkdown環境で数式モード中に日本語を書くと分数が分数としてちゃんと書けないんですよね。使いこなせていないだけなのでしょうが。

Markdownさんって $\TeX$ コマンドで数式を書けるのはいいんですが、若干違うところもあってカチンとくることもしばしば。ですので簡単に書くために、特に無限に細かく変化の割合を考える時は、今後下のように書き直したいと思います。

無限に細かく見た時の変化の割合 $=\dfrac{dy}{dx}$

めっちゃすっきりしましたね。宗派によっては $y'$ とか $\dot{y}$ とかあるらしいですが、私は断然 $\dfrac{dy}{dx}$ 派。あとから分かると思いますが、こっちの方が何かと都合いいし便利なんですよね。

これを使って一次関数と二次関数の変化の割合を無限に細かく見た時は下のように書けます。

一次関数( $y=x$ )の変化の割合： $\dfrac{dy}{dx}=1$

二次関数( $y=x^{2}$ )の変化の割合： $\dfrac{dy}{dx}=2x$

ar4t4ni.hatenablog.com

あと、この書き方を使うと「変化の割合」の変化の割合を見る場合は下の感じに書けますね。

「変化の割合」の変化の割合 $=\dfrac{d \left ( \dfrac{dy}{dx} \right )}{dx}=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$

高校とかでこのような表記を習う時は「これは分数ではない」と教わるそうですが、分数のように扱うことができたりするから楽なんですよね。さて、今後は無限に細かく見た時の変化の割合は $\dfrac{dy}{dx}$ と書いていこうと思います。

この書き方で指数関数を考えてみる

さて、前の記事で指数関数の変化の割合を無限に細かく見た時を考えていました。

ar4t4ni.hatenablog.com

特にネイピア数の指数関数を考えた場合、無限に細かく変化の割合を見ても同じになりましたね。

つまり $y=e^{x}$ のとき、 $\dfrac{dy}{dx}=e^{x}$ となりますね。

$\dfrac{dy}{dx}=e^{x}$ と書けるということは、 $\dfrac{dy}{dx}=y$ と書いても差し支えないことになりますね。

$\dfrac{dy}{dx}=y$ って書くと元の指数関数が消えて無くなるので、とっつきやすい感じが出てくるのではないでしょうか。

dy/dx=yが意味すること

ここで $\dfrac{dy}{dx}=y$ が意味することを考えてみましょう。

$\dfrac{dy}{dx}$ は $y$ の増え方を指していましたね。つまり上の式は $y$ の増え方＝ $y$ ということになります。ということは、 $y$ が大きければ $y$ の増え方も大きくなるということです。

ピンとこない人もいると思うので、みんな大好きドラえもんの秘密道具で例えるとこれは「バイバイン」と同じことをいっています。

ja.wikipedia.org

のび太とドラえもんは、おやつの栗饅頭をたくさん食べたいからということで「バイバイン」を使って栗饅頭を増やしました。「バイバイン」の液体をかけた物体は5分ごとに2倍に増えます。

1個だった栗饅頭は5分後には2個、その5分後には4個、そのまた5分後には8個……と増えていき、最終的には食べきれず処分に困った栗饅頭を宇宙空間へ廃棄するというお話でした。

さて、この時の栗饅頭の増え方ですが栗饅頭の数が多ければその増え方も大きくなています。つまり、栗饅頭の数が $y$ 、栗饅頭の増え方が $\dfrac{dy}{dx}$ ということになりますね。

あとは複利でのお金の増え方も同じようなことが当てはまります。元本に利息を付けて増やすと、その次は元本＋利息に利息がかかります。それを繰り返すことでどんどんお金が増えていきます。

本当は定数 $a$ をかけて $\dfrac{dy}{dx}=ay$ と書くのが適当なのですが、考え方は変わりません。

ここまで読んでもらった人は義務教育までに習う知識をこねくり回しただけで、新しい「モノの増え方」について知ることができたのではないでしょうか。

このような増え方って他にも色々あるんですよね。ただ話のキリもいいので、次回以降このような増え方をするものについて考えていきたいと思います。

このシリーズをここまで読んでいる人がいるのか少し疑問があるのですが、まだまだ続けないと話のオチをつけられなさそうですのでまだ続きます。感想や誤植のご指摘等々ありましたら、Twitterもしくはコメント欄でご指摘いただけると嬉しいです。

それでは

2021-01-17

楽天経済圏とかの話

楽天経済圏投資信託ふるさと納税

こんにちは、新谷です。

色々あって楽天サービスに関することをまとめることがあったで、せっかくなのでネットの海に漂わせることにしました。

あとはふるさと納税とか投資信託の話とか。ファイナンシャルプランナーの教本読めば分かるくらいのことしかないですが……

詳しく知りたい場合は、下記リンクのYoutubeチャンネルを見たほうがいいらしい。

t.co

少しでも興味を持っている人の手助けになればと思います。誤っているところもあると思いますのが、そこはご承知きください。

何かあればコメントのほどよろしくお願いします。

新谷の日記

有意義なことが書けるように頑張ります

2024年の投資戦略

NISAの使い方 ⇒ 投資信託ですべて埋める

何を買うか ⇒ 先進国株インデックスファンド

NISA枠を埋めるペース ⇒ 基本的に最速を目指す

マッチング拠出をするか個人型確定拠出年金(iDeCo)に加入するか

iDeCo加入要件の緩和(2022年10月～)

企業型DC加入者が2022年10月からiDeCoを利用するにあたって

確定拠出年金に関する統計

ふるさと納税の確定申告続きが簡単になるらしいね

制度説明の前に

制度の内容について

まとめ

余談

微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話その9

対数関数について

対数関数の変化の割合

微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話その8

ちょっと補足

飲み物の温度変化を考える

微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話その7

「変化の割合」の書き方を見直したい

この書き方で指数関数を考えてみる

dy/dx=yが意味すること

楽天経済圏とかの話