微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話その7

こんにちは、新谷です。まだまだ寒い日が続いてますが、日が落ちるのも遅くなってきましたね。

そろそろ暖かくなってきてほしいところですが、春先になると花粉症らしき症状がでるから嫌なんですよね。実はちゃんと検査したことがないので、今年はちゃんと検査してもらおうかなと考えていたり考えていなかったり。ちゃんと診てもらって薬処方されると結構緩和されたりするんですかね？よかったら教えてください。

さて、このシリーズではモノの増え方について焦点を置いて話を進めてきました。今回もその続きですね。

これまでモノの増え方について話を進めるうえで、変化の割合を考える時に下の式を使い続けてきました。

変化の割合 $=\dfrac{y\mbox{の増減量}}{x\mbox{の増減量}}$

ただこれって文字数多いから書くのが面倒くさいし、はてなブログのMarkdown環境で数式モード中に日本語を書くと分数が分数としてちゃんと書けないんですよね。使いこなせていないだけなのでしょうが。

Markdownさんって $\TeX$ コマンドで数式を書けるのはいいんですが、若干違うところもあってカチンとくることもしばしば。ですので簡単に書くために、特に無限に細かく変化の割合を考える時は、今後下のように書き直したいと思います。

無限に細かく見た時の変化の割合 $=\dfrac{dy}{dx}$

めっちゃすっきりしましたね。宗派によっては $y'$ とか $\dot{y}$ とかあるらしいですが、私は断然 $\dfrac{dy}{dx}$ 派。あとから分かると思いますが、こっちの方が何かと都合いいし便利なんですよね。

これを使って一次関数と二次関数の変化の割合を無限に細かく見た時は下のように書けます。

一次関数( $y=x$ )の変化の割合： $\dfrac{dy}{dx}=1$

二次関数( $y=x^{2}$ )の変化の割合： $\dfrac{dy}{dx}=2x$

あと、この書き方を使うと「変化の割合」の変化の割合を見る場合は下の感じに書けますね。

「変化の割合」の変化の割合 $=\dfrac{d \left ( \dfrac{dy}{dx} \right )}{dx}=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$

高校とかでこのような表記を習う時は「これは分数ではない」と教わるそうですが、分数のように扱うことができたりするから楽なんですよね。さて、今後は無限に細かく見た時の変化の割合は $\dfrac{dy}{dx}$ と書いていこうと思います。

さて、前の記事で指数関数の変化の割合を無限に細かく見た時を考えていました。

特にネイピア数の指数関数を考えた場合、無限に細かく変化の割合を見ても同じになりましたね。

つまり $y=e^{x}$ のとき、 $\dfrac{dy}{dx}=e^{x}$ となりますね。

$\dfrac{dy}{dx}=e^{x}$ と書けるということは、 $\dfrac{dy}{dx}=y$ と書いても差し支えないことになりますね。

$\dfrac{dy}{dx}=y$ って書くと元の指数関数が消えて無くなるので、とっつきやすい感じが出てくるのではないでしょうか。

ここで $\dfrac{dy}{dx}=y$ が意味することを考えてみましょう。

$\dfrac{dy}{dx}$ は $y$ の増え方を指していましたね。つまり上の式は $y$ の増え方＝ $y$ ということになります。ということは、 $y$ が大きければ $y$ の増え方も大きくなるということです。

ピンとこない人もいると思うので、みんな大好きドラえもんの秘密道具で例えるとこれは「バイバイン」と同じことをいっています。

のび太とドラえもんは、おやつの栗饅頭をたくさん食べたいからということで「バイバイン」を使って栗饅頭を増やしました。「バイバイン」の液体をかけた物体は5分ごとに2倍に増えます。

1個だった栗饅頭は5分後には2個、その5分後には4個、そのまた5分後には8個……と増えていき、最終的には食べきれず処分に困った栗饅頭を宇宙空間へ廃棄するというお話でした。

さて、この時の栗饅頭の増え方ですが栗饅頭の数が多ければその増え方も大きくなています。つまり、栗饅頭の数が $y$ 、栗饅頭の増え方が $\dfrac{dy}{dx}$ ということになりますね。

あとは複利でのお金の増え方も同じようなことが当てはまります。元本に利息を付けて増やすと、その次は元本＋利息に利息がかかります。それを繰り返すことでどんどんお金が増えていきます。

本当は定数 $a$ をかけて $\dfrac{dy}{dx}=ay$ と書くのが適当なのですが、考え方は変わりません。

ここまで読んでもらった人は義務教育までに習う知識をこねくり回しただけで、新しい「モノの増え方」について知ることができたのではないでしょうか。

このような増え方って他にも色々あるんですよね。ただ話のキリもいいので、次回以降このような増え方をするものについて考えていきたいと思います。

このシリーズをここまで読んでいる人がいるのか少し疑問があるのですが、まだまだ続けないと話のオチをつけられなさそうですのでまだ続きます。感想や誤植のご指摘等々ありましたら、Twitterもしくはコメント欄でご指摘いただけると嬉しいです。

それでは

新谷の日記