微積分を知っていると少し人生が豊かになるかもしれないねって話その6

こんにちは、新谷です。

なんか新型コロナウイルスの感染者が増えているみたいですね。無症状の人もいるとかいう話もありますが気を付けたいところ。

さて、今回の話は少し戻ってその4の話の続きからです。

ar4t4ni.hatenablog.com

その4では複利でお金が増える(指数関数的に増える)とき、その増え方を無限に細かくみてみました。ここでは指数関数を簡単な形にして指数関数の増え方を無限に細かくみましょう。

指数関数を一番簡単な形で書くと、下のように書けます。

$y=A^{x}$

さて、 $x$ が $x\rightarrow x+a$ と増えたときの指数関数の変化の割合を見ようと思います。 $y$ の値は下記のようになります。

$x$ のとき

$y=A^{x}$

$x+a$ のとき

$y=A^{x+a}$

さて、変化の割合は下の式で求めることができます。

変化の割合 $=\dfrac{y\mbox{の増減量}}{x\mbox{の増減量}}$

この式に当てはめて指数関数の変化の割合を見てみましょう。

$\begin{align} \dfrac{A^{x+a}-A^{x}}{(x+a)-x} &= \dfrac{A^{x}(A^{a}-1)}{a} \\ &= A^{x}\left( \dfrac{A^{a}-1}{a}\right ) \end{align}$

元の指数関数に $\dfrac{A^{a}-1}{a}$ という係数がかけられています。このとき $a$ を無限に小さくしたら指数関数の変化の割合を求めることができます。ただ、この係数は $A$ の値が変わるとその都度変わるので求めるのが少し億劫です。勘がいい人なら、係数が1になると指数関数の変化の割合を求めても、元の指数関数と式の形が変わらないから計算が楽じゃね？と考えるかもしれません。

ですので、次はその係数が「1」となるような $A$ を求めてみます。係数が1ですので、下のように書けます。

$\begin{align} \dfrac{A^{a}-1}{a} &= 1 \\ A^{a}-1 &= a \\ A^{a} &= 1+a\\ A &= \left (1+a \right ) ^{\frac{1}{a}} \end{align}$

$\left (1+a \right ) ^{\frac{1}{a}}$ の $a$ を無限に小さくしたら、係数が1になる $A$ を求めることができそうですね。 $a$ を無限に小さくしたとき(0に近付ける)の値は手計算でもいいのですが、今の時代は無料で使える表計算ソフトがあるのでそれで計算してみましょう。その結果はこちら。